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淺談選擇權希臘避險值

文 - 陳正暉


關鍵字:資產評價、衍生性金融商品、局部評價法、敏感度、Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho、TRF

在資產評價的範疇裡,求取商品價格期望值之導數(Greeks,希臘避險值)已成為重要課題。我們可將上述說明視作探求商品價格對相關市場變數之敏感度分析。理論上,在一個理想且連續時間交易之完全市場(complete market)中,衍生性金融商品可透過交易標的資產予以複製(沖銷)。譬如,持有選擇權多頭部位之投資者,可透過 delta 避險策略持有 delta 單位之標的資產予以沖銷。另外,如運用局部評價法(local valuation method)計算風險值(VaR,Value at Risk)時,資產價格相對於市場變數或相關參數變化之敏感度亦廣泛使用其中。實務上常遭遇之困境,常是不可觀察的敏感度推估難度大於公允價值計算。

選擇權希臘避險值的定義與適用範圍
  • Delta:衡量選擇權價格對其標的物價格變動之敏感程度。指為標的資產價格變動一單位,衍生性金融商品的價值變動多少單位。從模型假設觀察市場交易實務,常發現下述問題。如交易成本的產生;市場對放空之標地物有所限制;借貸條件並非無限制,借貸利率不一致;避險部位再調整不為連續;市場利率與波動度並非固定;如市價發生跳躍情形,則增添 delta 避險難度等等。

  • Gamma:衡量 delta 之敏感程度,亦即當標的資產價格變動一單位,此時 Delta 數值的變動量,即為 gamma。故 gamma 可視為選擇權價格對其標的資產價格之「二階導數」。從學術文獻可知,gamma 為 delta 避險困難之處:gamma 很小,表示 delta 值變化穩定,其避險的動作可不需頻繁調整;反之,當 gamma 為大,即 delta 變動劇烈,故須隨時調整避險部位。

  • Vega:衡量選擇權價格對標的資產價格波動度之敏感程度,即標的資產價格波動度變動一單位時,選擇權價格之變動量。從到期日觀察,愈接近到期日,vega 值越小,意指波動度影響程度越小;反之,距到期日愈遠,vega 值則越大。其中,由於 vega 值恆為正,即當標的資產價格波動度變動越大時,則選擇權價格變動量也就越大,兩者則呈同方向變動的關係。

  • Theta:衡量選擇權價格對到期期限(time to maturity)之敏感程度,亦即當到期期限變動一單位時,選擇權價格之變動量。因選擇權的價值包括「內含價值(intrinsic Value)」與「時間價值(time value)」,其中,時間價值將隨到期期限的縮短而逐漸降低。值得注意的是,當選擇權剛發行時(到期期限較長),時間價值流逝效應不大,另對到期日較短之選擇權而言,時間價值流逝將對選擇權價值產生顯著影響。故 theta 與短期選擇權較具關聯。

  • Rho:衡量選擇權價格對無風險利率之敏感程度,意謂當無風險利率變動一單位時,選擇權價格之變動量。以 Black-Scholes 評價模型為例,買權的 rho 大於 0,即利率上升,買權的價值增加;而賣權的 rho 則小於0。另就外匯選擇權而言,因評價模型牽涉兩國利率 ─ 本國與外國之無風險利率,應求得國內 Rho 與國外 Rho。一般而言,距到期日越近時,無風險利率為固定之假設可被接受,此時利率風險常忽略不計。

在 TRF 上如何計算希臘避險值

對於陽春型選擇權而言,希臘避險值可經由封閉解(closed-form formula)直接求取導數。但從 Ares 六月份電子報 ─ 技術交流文章內容可知,新奇型衍生性金融商品如 TRF(target redemption forwards),因商品種類變化繁多,如欲對實務契約規範之交易商品進行評價,因無確定公式解可依循,故須採蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo simulation method)以進行模擬。

從學術界或實務界角度來看,蒙地卡羅模擬法面對上述商品推估希臘避險值時亦遭逢不少挑戰。文獻上常採用之方法可分為三類:有限差分近似法(Finite-Difference approximation),順向微分法(pathwise derivative methods),與概似比值法(likelihood ratio methods)三種。

因理解性與操作性較佳之緣故,實務上常採取「有限差分法」。但其推估結果無法滿足「不偏性(unbiasedness)」,故其運用時須搭配「偏差(bias)」與「方差(variance)」。而其他方法則為「不偏估計量(unbiased estimator)」。「順向微分法」須將每次模擬結果對其相關市場參數進行微分;而「概似比值法」則對機率密度函數進行微分。常見之機率密度函數具可微分性,亦加強「概似比值法」之適用性。

除上述方法對於衍生性金融商品之適用性外(如計算公允價值過程中,微分與積分的交換性數學討論),運算時間多寡更是實務上重要考量。而無論採用哪種方式,估計二階導數常較一階導數困難。常見的是「順向微分法」對二階導數估計的窒礙難行;但其若與「概似比值法」搭配運用則不失為一個好的方法選項。

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